Ley Principal

La segunda ley de Newton o principio fundamental establece que la rapidez con la que cambia el momento lineal (la intensidad de su cambio) es igual a la resultante de las fuerzas que actúan sobre él:

∑F→=Δp→Δt

Donde:

  • ∑F→: Representa la fuerza total que actúa sobre el cuerpo en el intervalo de tiempo considerado. Su unidad de medida en el Sistema Internacional (S.I.) es el newton.
  • Δp→: Representa la variación del momento lineal producida en el intervalo de tiempo considerado. Se puede calcular como la diferencia entre su valor final y su valor inicial: Î”p→=p→f−p→i, y recuerda que p→=m⋅v→. Su unidad de medida en el S.I. es el kg·m/s.
  • Δt : Representa el intervalo de tiempo considerado. Su unidad de medida en el S.I. es el segundo

Como puedes ver, este principio relaciona matemáticamente las fuerzas con el efecto que producen, de tal forma que resulta fundamental para resolver cualquier problema de dinámica.

Segunda ley de Newton

Ejemplo de aplicación de la segunda ley 


de Newton


Cuando empujas un objeto, por ejemplo una caja, aplicando una fuerza sobre él de manera sostenida, se produce un incremento de su momento lineal, representado por la flecha naranja. Ten presente que siempre que la masa a la que aplicas la fuerza se mantenga constante, el aumento del momento lineal se traducirá en un incremento de su velocidad, pues p=m·v.

Definición diferencial

En la expresión anterior estamos dando por sentado que la fuerza total es constante en el intervalo Î”t. En caso de no serlo, la expresión anterior nos proporcionará una fuerza total promedio. Por norma general, las fuerzas no suelen ser iguales durante todo el intervalo de tiempo, por lo que nos resultará de utilidad una ecuación que nos determine la fuerza en un instante concreto de tiempo.

Podemos obtener la fuerza instantánea total calculando la fuerza entre dos instantes de tiempo tan próximos que su intervalo tiende a 0. Es justamente la definición de la derivada y se trata del mismo proceso que seguíamos en el caso de la velocidad instantánea o la aceleración instantánea:

∑F→=limΔt→0Δp→Δt=dp→dt 

La resultante de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo en un instante es proporcional a la variación del momento lineal en ese preciso instante y actúa en la dirección de esta, es decir, en la dirección de la variación de su velocidad.

∑F→=dp→dt 

Ten presente que, estrictamente hablando, la segunda ley de Newton solo es válida en sistemas de referencia inerciales. Para sistemas de referencia no inerciales es necesario incluir las fuerzas ficticias o fuerzas inerciales.

Masa Inalterada

Si un cuerpo durante una interacción no cambia el valor de su masa, se obtiene la famosa ecuación que estudiamos en el nivel anterior: F = m · a. Veámoslo:

∑F→=dp→dt=d(m⋅v→)dt=mdv→dt+v→⋅dmdt=mdv→dt=m⋅a→∑F→ = m⋅a→

A la expresión anterior se la conoce como ecuación fundamental de la dinámica de traslación.

La ecuación fundamental de la dinámica de traslación establece que si la fuerza resultante que se aplica a un cuerpo libre no es nula, este experimentará una aceleración, o lo que es lo mismo, un cambio en su estado de reposo o de movimiento.

∑F→ = m ⋅ a→

Donde:

  • ∑F→: Representa la fuerza total que actúa sobre el cuerpo. Su unidad de medida en el Sistema Internacional (S.I.) es el newton.
  • m : Es la masa del cuerpo, supuesta constante. Su unidad de medida en el S.I. es el kilogramo (kg)
  • a→: Es la aceleración que tiene el cuerpo. Su unidad de medida en el S.I. es el metro por segundo al cuadrado (m/s2)

En ocasiones nos resultará de utilidad descomponer la expresión anterior en las componentes cartesianas ( o en cualquier otro sistema de coordenadas)...

∑Fx=m⋅ax ; ∑Fy=m⋅ay ; ∑Fz=m⋅az

Y a veces también en las componentes intrínsecas...

∑Ft=m⋅at ; ∑Fn=m⋅an

Por otro lado, Newton llegó a esta conclusión tras realizar una serie de experimentos en los que pudo comprobar que:

  • Si se aplica la misma fuerza a cuerpos con distinta masa, se consiguen aceleraciones diferentes.
  • La fuerza es directamente proporcional a la aceleración que experimenta el cuerpo, y la constante de proporcionalidad del cuerpo utilizado corresponde con su masa.
Relación vector fuerza y vector aceleración

Relación fuerza y aceleración

La fuerza resultante que se aplica en un cuerpo y la consecuente aceleración que aparece en él tienen la misma dirección y sentido. De acuerdo a la segunda ley de Newton, se diferencian en una constante de proporcionalidad: la masa del cuerpo. Así, dado que el vector fuerza resultante de la figura, Î£F→, es el doble del vector aceleración, a→,la masa de la caja será de 2 kg.

Si en la primera ley Newton introdujo el concepto de inercia, en la segunda ley establece cual es su cantidad, es decir, la masa es la magnitud que mide la cantidad de inercia que posee un cuerpo.

Observa que podemos considerar la primera ley de Newton como un caso particular de esta segunda. Efectivamente, cuando...

∑F→=0⇒0=dp→dt 

...es decir, si no hay una fuerza neta actuando sobre un cuerpo, este no varía su cantidad de movimiento, y por tanto, su velocidad permanece constante. Se trata del principio de conservación del momento lineal.

La segunda ley de Newton nos proporciona una relación entre causas, las fuerzas, y los efectos, la aceleración. No dice nada acerca de qué factores influyen en esas causas. Así, por ejemplo, la fuerza de la gravedad depende de las masas y las distancias, la fuerza elástica depende de las características del un muelle y su elongación. Dedicaremos el siguiente tema a estudiar algunas de estas causas y sus aplicaciones.


Ejercicio de Ejemplo

Si la ecuación de trayectoria de un cuerpo es r→=t2i→−5 t j→ − 2t2 ⋅ k→ m, ¿Cuál es la fuerza que le obliga a moverse si su masa es de 4 kg?


Datos

Masa m = 4 kg

Ecuación de posición: r→=t2i→−5 t j→ − 2t2 ⋅ k→ m
F?

Resolución

De acuerdo a la segunda ley de Newton:

∑F→ = m⋅a→

Conocemos la masa y sabemos que la aceleración instantánea es la derivada de la velocidad instantánea respecto al tiempo y la velocidad instantánea es la derivada del vector de posición respecto al tiempo.

a→=dv→dt ⋮  v→=dr→dt

Derivando primero el vector de posición y luego el vector velocidad:

v→=d(t2⋅i→−5t⋅j→+2t2⋅k→)dt=2⋅t ⋅i→ − 5 ⋅ j→ − 4⋅t ⋅ k→a→=d(2t ⋅i→−5j→−4t ⋅ k→)dt = 2⋅i→ − 4⋅ k→ 

Sustituyendo en la expresión de la segunda ley:

∑F→=4 kg⋅(2⋅i→ − 4⋅ k→ ) m/s⇒∑F→=8⋅i→ − 16⋅ k→ N